Сегодня мы поговорим про то, как построить математический график при помощи языка Python за 10 минут. Мы рассмотрим построение параметрических кривых в трехмерном и двумерном пространстве с использованием различных примеров.

У многих из нас со школьной скамьи остались не самые приятные воспоминания о математике. Кто-то воспринимал её как необходимое зло: сложное и скучное, но обязательное. Кто-то же отказывался понимать математику от слова совсем.

Так или иначе, но наше школьное образование было ориентировано скорее на запоминание и заучивание, а не на размышления. По большому счету не было никакой мотивации разбираться в основах математики или в том, как она на самом деле работает. Идея заключалась в том, чтобы просто узнать, какие задачи решает определенная формула, запомнить правильный набор шагов и воспроизвести все это на экзамене.

Однако математика намного обширнее и интереснее того, что мы учили в школе. Если взять, например, кинематику, можно увидеть настоящую магию математики. Кинематика известна как «геометрия движения» – это изучение взаимодействия между движущимися телами во времени. Хотя бы раз увидите такое визуальное представление математических функций — и они оживут для вас. Возможно, в тот момент вы почувствуете, что впервые понимаете их правильно.

Итак, давайте научимся самостоятельно моделировать данные и начнем писать собственные скрипты. Сегодня мы поговорим о параметрических кривых и как их строить, используя Python и такие библиотеки, как NumPy, SymPy и Matplotlib.

Построение параметрических кривых

Параметрические кривые поистине завораживают! Если говорить простым языком, параметрическую кривую можно понимать как след, оставляемый движением частицы в пространстве. Говоря более формально, этот след моделируется функцией, определяемой от интервала I до различных точек в пространстве E.

Для трехмерного случая, если x, y и z заданы как функции переменной t в I (это параметр), мы получаем уравнения x = f(t), y = g(t) и z = h(t). Оценивая каждое значение параметра t в каждом из этих уравнений, мы получаем точку p(t) = (x(t),y(t),z(t)) в пространстве. Проделав эту процедуру для значений t, меняющихся в интервале I, мы получим параметрическую кривую.

Проведя небольшое исследование, попробовав несколько моделей вручную и потратив много часов на работу над сценарием, мы нашли решение. Оно выглядит следующим образом:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  t = sp.Symbol('t')  function_x = sp.sympify('sin(t)') function_y = sp.sympify('cos(t)') function_z = sp.sympify('t**2') interval = np.arange(0, 100, 0.1)  x_values = [function_x.subs(t, value) for value in interval] y_values = [function_y.subs(t, value) for value in interval] z_values = [function_z.subs(t, value) for value in interval]  fig = plt.figure(figsize=(10, 10)) ax = plt.axes(projection='3d') ax.plot(x_values, y_values, z_values) plt.show()

Приведенный выше скрипт позволяет нам генерировать графики для параметрических кривых. К примеру, вот так выглядит график параметрической спирали p(t) = (sin(t),cos(t),sqrt(t3)), для интервала от 0 до 100.

Как работает скрипт

Скрипт, который мы привели выше, использует такие библиотеки, как SymPy, NumPy и Matplotlib. Давайте разберемся со всем по порядку.

SymPy — это библиотека Python для символьной математики. Она стремится стать полнофункциональной системой компьютерной алгебры (CAS). При этом сохраняется максимально простой код (а значит, понятный и масштабируемый). Библиотека SymPy, кстати, полностью написана на Python.

NumPy — это основной пакет для научных вычислений в Python. Эта библиотека предоставляет:

• объекты многомерного массива,
• различные производные объекты (такие как маскированные массивы и матрицы)
• набор подпрограмм для быстрых операций с массивами, включая математические и логические, манипуляции с фигурами, сортировку, выборку, ввод-вывод, дискретные преобразования Фурье, основные операции линейной алгебры, основные статистические операции и случайное моделирование.

И последняя библиотека из нашего списка — Matplotlib. Это обширная библиотека для создания статических, анимированных и интерактивных визуализаций на Python.

Подготовка

Чтобы использовать перечисленные выше библиотеки в нашем скрипте, мы должны сначала установить их на свой компьютер, выполнив следующую инструкцию в терминале:

pip install numpy sympy matplotlib

Теперь, когда библиотеки установлены, мы можем импортировать их в нашу программу:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Построение графика трехмерной параметрической кривой

Символьные вычисления в SymPy выполняются с помощью символов. Переменные SymPy являются объектами класса Symbols. Выражение t = sp.Symbol(‘t’) присваивает символ t переменной t, с которой мы теперь можем работать как с математической переменной.

Выглядит это следующим образом:

t = sp.Symbol('t') print(t ** 2)  >>> t ^ 2

В рамках этой задачи нам нужно работать с составными выражениями, хранящимися в строке. Поэтому нам нужно сделать преобразование строки в математическое выражение понятным для SymPy. Для этого мы используем функцию sympify.sp.sympify(expression), которая преобразует параметрическое выражение в общее математическое выражение.

К примеру, наш код будет выглядеть так:

function_z = sp.sympify('t^2') print(function_z + 2)  >>> t ^ 2 + 2

Теперь переменная function_z содержит математическое выражение t2+2.

Следующим шагом является возможность оценить параметр t внутри математического выражения. Функция subs() в SymPy позволит нам оценить выражение с заданным значением. Мы можем использовать его следующим образом: expression.subs(t, value).

Наш код будет выглядеть следующим образом:

value = function_z.subs(t, 5) print(value)  >>> 5 ^ 2 = 25

Поскольку мы говорим о параметрических функциях, нас интересует оценка функции на последовательности вещественных значений в пределах интервала. Для этого мы используем функцию arange() в NumPy.

Функция np.arange(start, stop, step) создает массив NumPy со значениями в интервале (start,stop) с приращением шага, то есть мы идем от start до stop-1 с определенным шагом step.

Наш код будет выглядеть так:

interval = np.arange(0, 10, 1) print(interval)  >>> array([0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9])

После создания массива интервалов нам нужно перебрать значения t и оценить каждое значение внутри функции. Для этого мы будем использовать генератор списков в Python и функцию subs() библиотеки SimPy.

О генераторах списков можно почитать в статье «Генераторы списков в Python для начинающих».

Функция subs() получает символ t (который мы сохранили в переменной t) и значение каждого из элемента в качестве параметров.

Выглядит это примерно следующим образом:

z_values = [function_z.subs(t, value) for value in interval] print(z_values)  >>> [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]

Мы повторяем эту процедуру для значений x_values ​​и y_values ​​и таким образом получаем массивы со значениями для построения.

Наконец, с помощью библиотеки Matplotlib мы создаем график, соответствующий нашей параметрической кривой. В трехмерном случае, чтобы указать Matplotlib, что мы хотим сделать трехмерный график, мы используем следующий оператор:

ax = plt.axes(projection=’3d’)

Кроме того, мы можем заменить функции и интервал на новые и получить самые разные кривые. Давайте попробуем еще раз, но с другими значениями.

Например, напишем следующий код:

function_x = sp.sympify('2*t + 10') function_y = sp.sympify('t**2') function_z = sp.sympify('sin(t**2) + cos(t**2)') interval = np.arange(-5, 5, 0.05)

Запустим наш код и получим такой график:

Немного поэкспериментируем

Давайте немного поэкспериментируем с нашим кодом: попробуем различные значения и посмотрим, что получится. С помощью параметрических кривых можно создать множество фигур. Некоторые комбинации могут генерировать кривые с уникальной симметрией и красотой.

Если вы хотите поиграть со скриптом самостоятельно, можете открыть эту ссылку и заменить значения для function_x, function_y, function_z и interval.

К примеру, можно взять следующий код:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  symbol_x = sp.Symbol('t')  function_x = sp.sympify('sin(t)') function_y = sp.sympify('t^2+2*t') function_z = sp.sympify('t^2') interval = np.arange(-10, 10, 0.1)  x_values = [function_x.subs(symbol_x, value) for value in interval] y_values = [function_y.subs(symbol_x, value) for value in interval] z_values = [function_z.subs(symbol_x, value) for value in interval]  fig = plt.figure(figsize=(10, 10)) ax = plt.axes(projection='3d') ax.plot(x_values, y_values, z_values) plt.show()

Запустив его, мы получим такой результат:

Поиграйтесь сами и посмотрите, какие удивительные параметрические кривые можно создать!

Построение 2D параметрических кривых

С некоторыми модификациями данный скрипт также можно использовать и для построения двумерных параметрических кривых.

Например, давайте построим двумерный график, полученный путем оценки выражения x = t − 1,6 ∗ cos(24 ∗ t) и y = t − 1,6 ∗ sin(25 ∗ t) на интервале I=[1.5,20.5].

Выглядеть это будет примерно следующим образом:

Для того, чтобы смоделировать параметрическую кривую, показанную выше, можно воспользоваться следующим скриптом:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt  t = sp.Symbol('t')  function_x = sp.sympify('t - 1.6*cos(24*t)') function_y = sp.sympify('t - 1.6*sin(25*t)') interval = np.arange(1.5, 20.5, 0.01)  x_values = [function_x.subs(t, value) for value in interval] y_values = [function_y.subs(t, value) for value in interval]  plt.figure(figsize=(10, 10)) plt.plot(x_values, y_values) plt.show()

Давайте проверим наш код с другими функциями и новым интервалом. К примеру, возьмем следующие значения:

function_x = sp.sympify('4*sin(5*t)') function_y = sp.sympify('5*cos(3*t)') interval = np.arange(0, 6.5, 0.001)

Запустим наш скрипт и получим следующий график:

Теперь давайте проделаем это ещё раз, но уже с новыми значениями:

function_x = sp.sympify('cos(16*t) + (cos(6*t) / 2) + (sin(10*t) / 3)') function_y = sp.sympify('sin(16*t) + (sin(6*t) / 2) + (cos(10*t) / 3)') interval = np.arange(0, 3.16, 0.01)

Тогда результат будет таким:

Удивительно! Не правда ли?

Построение математических функций

Как только мы закончили написание скрипта для моделирования параметрических кривых, приходит осознание, что с помощью всего нескольких строк кода мы можем создать плоттер для математических функций как в двух, так и в трех измерениях! Невероятно! Это же так удобно!

К примеру, давайте рассмотрим скрипт для построения графиков математических функций в двух и трех измерениях в интервале от a до b. То есть, консоль запросит у пользователя как функцию, так и значения a и b для интервала. Вот такой код у нас получится:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  symbol_x = sp.Symbol('x') symbol_y = sp.Symbol('y')  def get_vector(a, b):     return np.arange(a, b + 1, 0.1)  def plot_2d_function(function, a, b):     # Create the sympy function f(x)     f_x = sp.sympify(function)          # Create domain and image     domain_x = get_vector(a, b)     image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]          # Plot the 2D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     plt.plot(domain_x, image)     plt.show()  def plot_3d_function(function, a, b):     # Create sympy function f(x, y)     f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))          # Create domains and image     domain_x = get_vector(a, b)     domain_y = get_vector(a, b)     domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)     image = f_xy(domain_x, domain_y)          # Plot the 3D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     ax = plt.axes(projection='3d')     ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image,                      rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')     plt.show()      function = input('>> Enter the function: ') a_value = float(input('>> Enter the [a, ] value: ')) b_value = float(input('>> Enter the [, b] value: '))  if "x" and not "y" in function:     plot_2d_function(function, a_value, b_value)  elif "x" and "y" in function:     plot_3d_function(function, a_value, b_value)      else:      print("You must enter a function in terms of x and/or y")

Вы можете протестировать приведенный выше скрипт здесь. Запустите скрипт и введите свою конфигурацию функции и интервала.

Например, возьмем следующий код:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  symbol_x = sp.Symbol('x') symbol_y = sp.Symbol('y')  def get_vector(a, b):     return np.arange(a, b + 1, 0.1)  def plot_2d_function(function, a, b):     # Create the sympy function f(x)     f_x = sp.sympify(function)          # Create domain and image     domain_x = get_vector(a, b)     image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]          # Plot the 2D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     plt.plot(domain_x, image)     plt.show()  def plot_3d_function(function, a, b):     # Create sympy function f(x, y)     f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))          # Create domains and image     domain_x = get_vector(a, b)     domain_y = get_vector(a, b)     domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)     image = f_xy(domain_x, domain_y)          # Plot the 3D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     ax = plt.axes(projection='3d')     ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')     plt.show()      function = "x*cos(5*x)" a_value = 0 b_value = 10  if "x" and not "y" in function:     plot_2d_function(function, a_value, b_value)  elif "x" and "y" in function:     plot_3d_function(function, a_value, b_value)      else:      print("You must enter a function in terms of x and/or y") 

Запустим его и получим следующий результат:

А теперь давайте поменяем значения на следующие:

import sympy as sp import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  symbol_x = sp.Symbol('x') symbol_y = sp.Symbol('y')  def get_vector(a, b):     return np.arange(a, b + 1, 0.1)  def plot_2d_function(function, a, b):     # Create the sympy function f(x)     f_x = sp.sympify(function)          # Create domain and image     domain_x = get_vector(a, b)     image = [f_x.subs(symbol_x, value) for value in domain_x]          # Plot the 2D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     plt.plot(domain_x, image)     plt.show()  def plot_3d_function(function, a, b):     # Create sympy function f(x, y)     f_xy = sp.lambdify((symbol_x, symbol_y), sp.sympify(function))          # Create domains and image     domain_x = get_vector(a, b)     domain_y = get_vector(a, b)     domain_x, domain_y = np.meshgrid(domain_x, domain_y)     image = f_xy(domain_x, domain_y)          # Plot the 3D function graph     fig = plt.figure(figsize=(10, 10))     ax = plt.axes(projection='3d')     ax.plot_surface(domain_x, domain_y, image, rstride=1, cstride=1, cmap='viridis')     plt.show()      function = "x**2 + cos(y**2)" a_value = -3 b_value = 3  if "x" and not "y" in function:     plot_2d_function(function, a_value, b_value)  elif "x" and "y" in function:     plot_3d_function(function, a_value, b_value)      else:      print("You must enter a function in terms of x and/or y") 

Если мы это запустим, то получим такой график:

Заключение

Что ж, вот вы и дошли до конца этой статьи, поздравляем! Сегодня мы обсудили, как построить математический график на Python всего за 10 минут. Мы поговорили про построение различных параметрических кривых в двумерном и трёхмерном пространстве и разобрали процесс построения на примерах. Теперь вы видите, какой завораживающей на самом деле может быть математика! Кроме того, построение параметрических кривых, как вы понимаете, не такой уж и сложный процесс.

Надеемся, данная статья была вам полезна! Успехов в написании кода!

Перевод статьи «How to Plot Mathematical Functions in 10 Lines of Python».