Сотрудники Бристольского университета и Массачусетского технологического института смогли представить число 3 в виде суммы трех кубов целых чисел. Они показали 21-разрядное решение задачи.

Задача представлена в виде уравнения

. Если ограничить значения всех переменных в нем множеством целых чисел, то получится диофантово уравнение. При определенных значениях k целочисленные решения для x, y и z могут вырасти до огромных чисел. Иногда сама возможность найти такое решение в отношении некоторых чисел ставится математиками под сомнение. Так, для k =29 и 30 решение находится, а для k=31 и 32 его нет.

Необходимость разложить k на кубы требует использования большого количества вычислительных мощностей. В сентябре 2019 года британские математики Энди Букер и Эндрю Сазерленд, используя объединенную мощность полумиллиона домашних ПК по всему миру, впервые нашли решение для k=42.

Для k=3 уже есть два решения. Это последовательности 4, 4, -5 и 1, 1, 1. О необходимости найти третью последовательность заявил еще в 1953 году математик Луис Морделл. В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что для каждого натурального числа, кроме тех, которые дают в остатке 4 и 5 при делении на 9, есть бесконечно много разложений на кубы целых чисел. При этом, по его мнению, они будут сильно отличаться по величине x, y и z.

Для k=3 его удалось найти с помощью распределенных компьютерных вычислений. Для этого потребовалось 4 млн часов совокупной работы более 400 тысяч компьютеров, подключенных к глобальной сети Charity Engine.

Сначала математики слегка видоизменили уравнение, чтобы увеличить скорость перебора возможных x, y, z:

. С помощью теории чисел они сократили пространство перебираемых значений (x+y) для заданных k и z. Перебор вариантов разбили на большое количество параллельных потоков.

Вот такое решение получилось для k=3:

Букер отмечает, что для нахождения следующего разложения тройки может потребоваться в 100 млн раз большее количество устройств. «Я не знаю, найдем ли мы когда-нибудь четвертое разложение. Но я верю, что оно где-то там», — заявил Сазерленд.

В настоящее время среди натуральных чисел до 1000 остаются «неразложенными» семь: 114, 390, 627, 633, 732, 921 и 975.